Как найти площадь любого треугольника по трём сторонам

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Вы здесь

Онлайн калькулятор — Учеба и наука — Математика — Геометрия — Геометрический калькулятор — Треугольник

Треугольник

Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.

Зная: Стороны треугольника	Зная: Два угла и сторону треугольника	Зная: Два угла и сторону треугольника «A»
Зная: Две стороны и угол треугольника	Прямоугольный треугольник	Зная: Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника
Катет «B» и гипотенуза прямоугольного треугольника	Зная: Катет и угол прямоугольного треугольника	Катет «A» и угол «β» прямоугольного треугольника
Катет «B» и угол «α» прямоугольного треугольника	Катет «B» и угол «β» прямоугольного треугольника	Зная: Гипотенузу и угол прямоугольного треугольника
Гипотенуза и угол «β» прямоугольного треугольника	Равнобедренный треугольник	Зная: Высоту и сторону равнобедренного треугольника
Высота и сторона «B» равнобедренного треугольника	Зная: Сторону и угол равнобедренного треугольника	Сторона «A» и угол «β» равнобедренного треугольника
Сторона «B» и угол «α» равнобедренного треугольника	Сторона «B» и угол «β» равнобедренного треугольника	Зная: Высоту и угол равнобедренного треугольника
Высота и угол «β» равнобедренного треугольника	Равносторонний треугольник	Зная: Площадь равностороннего треугольника
Зная: Высоту равностороннего треугольника	Зная: Радиус вписанной окр. равностороннего треугольника	Зная: Радиус описанной окр. равностороннего треугольника
Зная: Основание и высоту треугольника

Классические методы расчета

Отличие в разных формулах заключается в исходных данных. В них используются различные элементы треугольника. В задачах не всегда есть возможность выбирать вводные величины. Базовая школьная формула основаны на знании длины одной из сторон (a):

• из противоположного угла на известное основание опускают высоту (h);
• измеряют ее длину;
• произведение двух известных величин делят надвое и получают площадь треугольника.

На заметку! Запись этой формулы:

Также в школьной программе часто используется способ расчета площади произвольного (в т. ч. равнобедренного) треугольника на основании известного угла (α) и длины примыкающих к нему сторон (a и b):

1. Вычислите синус угла.
2. Перемножьте между собой длины сторон.
3. Разделите величину надвое.
4. Умножьте друг на друга данные из пунктов 1 и 2. Результат готов.

На заметку! Запись данной формулы: 

В примере с прямоугольным треугольником посчитать его площадь можно в три нажатия на калькуляторе. Достаточно перемножить значения его катетов (прилегающих к прямому углу сторон) и разделить произведение надвое.

Самый простой многоугольник и вектор

Чтобы найти площадь треугольника через векторы и известные координаты его вершин, необходимо подробнее познакомиться с этими геометрическими объектами. Знание их свойств позволяет легко вычислять разные характеристики изучаемой фигуры, включая периметр, высоту, углы при вершинах и другие. При этом используются универсальные математические операции, которые можно применять с успехом не только для треугольника, но и для других многоугольников.

Фигура на плоскости

Треугольник в геометрии представляет собой самый простой многоугольник, который лежит всегда в одной плоскости, даже если фигура рассматривается в трехмерном пространстве. Состоит он из сторон и вершины.

Сторон и вершин у фигуры по три. Сторона является отрезком, а вершина — это точка пересечения этих отрезков. Для нее характерен определенный угол. Все углы треугольника являются разными в общем случае, их сумма всегда соответствует 180°. Однако, существуют специальные типы фигуры, для которых либо два угла равны друг другу (равнобедренный), либо все три (равносторонний). В задачах называют треугольники по имени их трех вершин, обозначенных латинскими буквами, например, ABC или NPQ.

Для треугольника важное значение имеют следующие отрезки:

• делящий противоположную углу сторону пополам — медиана;
• разделяющий угол при вершине на два равных — биссектриса;
• падающий под прямым углом на противоположную углу сторону — высота.

Направленный отрезок

Вектором называют линейный элемент, который имеет начало и конец. Для его определения удобнее всего использовать координатную плоскость. Она представляет собой две направленные оси, имеющие шкалу и пересекающиеся под углом 90°. Точка пересечения является началом координат и обозначается буквой O (0; 0). Здесь каждая из цифр указывает точку пересечение перпендикуляра, опущенного из рассматриваемого объекта к каждой из двух осей.

Если начало A (x0; y0) и конец B (x1; y1) вектора известны, тогда легко можно вычислить его собственные координаты. Делается это так:

AB- = B-A = (x1-x0; y1-y0).

Иными словами, чтобы получить вектор AB-, следует из соответствующих координат его конца вычесть его начало. Эта операция эквивалентна параллельному перемещению AB- в начало координатной плоскости, что говорит о существовании бесконечного количества одинаковых AB-векторов.

Направленные отрезки можно складывать, вычитать и умножать. Для каждой из операций существуют определенные правила. Если для сложения и вычитания речь идет о геометрических особенностях, то в случае умножения применяются исключительно алгебраические выражения. Вектор a- можно умножить на b- двумя принципиально разными способами:

Скалярно: (a-*b-). В этом случае мы получаем число. Правило умножения записывается следующим образом: (a-*b-) = |a-|*|b-|*cos (ab)=x1*x2+y1*y2. Здесь знаком модуля (||) обозначены длины соответствующих отрезков, cos (ab) — это косинус угла между a- и b-, при этом a-(x1; y1), b-(x2; y2). Этот тип произведения можно использовать для вычисления углов между направленными отрезками, а также для определения объема фигур в пространстве.
Векторно: . Результатом этой операции является вектор, который перпендикулярен исходным, его направление (вверх или вниз) принято определять по правилу правой руки: четыре пальца должны быть направлены от конца a- к концу b-, тогда оттопыренный большой палец укажет направление их векторного произведения. Длина этого перпендикулярного вектора определяется так: = |a-|*|b-|*sin (ab) = x1*y2-x2*y1. Векторное произведение используют для вычисления площадей фигур.

Расчет высоты

Для самостоятельных вычислений рекомендуется воспользоваться специальными математическими формулами. Разработка плана дома требует изготовления чертежа, для которого нужно замерить величины значений.

Пропорцию конструкции крыши в первую очередь задает ее конек, представляющий собой горизонтальное ребро, которое образуется в месте соединения вершин наклонных плоскостей. Неверно вычисленная высота конька может привести к проблемам в эксплуатации строения и нарушению архитектурных параметров

Важно четко следовать техническим предписаниям во избежание появления в дальнейшем протечек в крыше и ее преждевременного износа

Двускатная крыша чаще всего выполняется в виде равностороннего треугольника, но бывают дома с асимметричными двускатными крышами, у которых различны площади скатов. Но при этом равен угол наклона обеих частей конструкции.

На высоту конька влияет и наличие чердака. Различают чердачные и бесчердачные жилые здания. Посчитать эту величину можно из соображений безопасности перемещения в эксплуатируемом чердачном помещении. Высота крыш нежилого чердака считается от перекрытия до вершины крыши в месте соединения скатов.

Угол наклона плоскостей определяется величиной, находящейся в прямой зависимости от типа кровельного покрытия, особенностей климата и прочих факторов. Так, при наличии обильных снежных осадков оптимальным значением является угол ската не менее 45°С, что препятствует задерживанию массивных осадков на поверхности, чтобы не создавалась дополнительная нагрузка на несущую конструкцию крыши. При наличии сильного ветра предпочтительнее сооружать скат с пологим углом наклона не более 20°С.

Для маленьких по размеру элементов кровли больше подойдет высокая крыша

Стоит обратить внимание, что на упаковке кровельного материала указана величина оптимального угла наклона. Необходимо также учитывать, что увеличение угла наклона влечет за собой увеличение нагрузки на несущую конструкцию, повышая расходы на закупку материала для кровли, стропил и каркасных элементов

Для расчета высоты крыши можно использовать математические онлайн-калькуляторы. Также придется вспомнить школьные уроки тригонометрии. Можно представить, что крыша состоит из двух прямоугольных треугольников, приставленных друг к другу. Скат играет роль гипотенузы, высота крыши – первого катета (a), значение ширины дома, деленное пополам, – второго катета (b). Получается формула: a=b*tga. Таким образом, можно высчитать высоту конька.

Биссектрисы треугольника

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

   AEAB = ECBC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

   Угол между и ‘ = 90°

4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Раскладывающаяся модель

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )  (см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S₂ = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c — 4a)(4a + 4c — 4b)(4a + 4b -4c) ) (см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 — общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S₂ = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) — на третьей строке рисунка
S₂ = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) — четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня    
S₂ = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )
S₂ = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) (см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S₂ / S = 16 (см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения — в последней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

10380.6235
 

Сумма углов треугольникаОписание курса Медиана треугольника   

Как найти площадь треугольника

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным.

Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах.

Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям в домашнем задании. Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к.

сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника.

Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е.

правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами.

Как вы можете заметить, в этих формулах активно используются углы, их величины, косинусы, синусы и тангенсы.

По этой причине, без специальной книжки вам не обойтись, хотя всю информацию вы сможете найти в Интернете.

Отметим только, что в формулах угол альфа – тот, что находится между боковой стороной и основанием, а угол гамма (y) – тот, что находится между равными боковыми сторонами треугольника.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

+ + = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если > , тогда >

если = , тогда =

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

+ > + > + >

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

	=		=		= 2R

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2 = 2 + 2 — 2·

2 = 2 + 2 — 2·

2 = 2 + 2 — 2·

Виды тканей из 100% полиэстера

• Джордан – ткань с добавлением полиуритана. Имеет гладкую переливающуюся поверхность высокой изностостойкости. Является водо- и ветронепроницаемой.
• Дюспо – плотная ткань с полиуретановой пропиткой. Способна отталкивать воду и грязь, защищает от ветра.
• Принс – матовая шелковистая ткань с водонепроницаемой пропиткой и ветроупорными свойствами.
• Бондинг – плотная, дышащая ткань, защищающая от стужи. Дает комфорт и тепло зимой, поэтому из нее шьют детскую верхнюю одежду.
• Трилобал – обладает красивым перламутровым блеском, а потому из нее шьют одежду в основном для детей и женщин.
• Файл – довольно плотный по структуре материал с хорошим эстетическим видом. Ткань водо- и ветронепроницаема, быстро сохнет, держит форму и свой вид.
• Таффета – проявляет устойчивость к влаге и воздействию химических веществ. Материал востребован в производстве снаряжения для туристов и спасателей.
• Мемори – ткань запоминает предыдущее на нее воздействие — сминание или разглаживание.

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длины катетов a и b
• длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
• длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
• длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a = Катет b = S =

Просто введите длины двух катетов, и получите ответ.

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

S = ½ ⋅ a ⋅ b

Пример

К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c = Катет (a или b) = S =

Введите длины гипотенузы и одного из катетов, и получите ответ.

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

S = ½ ⋅ a ⋅ √c² — a² = ½ ⋅ b ⋅ √c² — b²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

S = 2 ⋅ √5² — 2² / 2 = √25 — 4 ≈ 4.58 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) = Прилежащий угол (β или α) = ° S =

Введите длину одного из катетов и прилежащий к нему острый угол в градусах.

То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b — ∠α

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) = Противолежащий угол (α или β) = ° S =

Введите длину одного из катетов и противолежащий к нему острый угол в градусах.

То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b — ∠β

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 — α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 — β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²

Деревянное устройство

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием

Свет

Для равнобедренного треугольника

Рассмотрим случаи нахождения площади, если у треугольника равные боковые стороны.

Через основание и сторону

 В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:

\(S=\frac b4\sqrt{4a^2-b^2}\)

где a — одно из боковых ребер фигуры, а b — ее основание.

Через основание и противолежащий угол

Зная длину основания и противолежащий ему угол, мы можем использовать следующую формулу:

\(S=\frac{b^2}{4\tan\left({\displaystyle\frac\beta2}\right)}\)

где b — основание многоугольника, β — противолежащий ему угол.

Через основание и высоту

Если нам известна величина основания равнобедренного треугольника, а также его высота, найдем S по приведенной ниже по элементарной формуле:

\(S=\frac{b\times h}2\)

где b — основание фигуры, а h — высота, проведенная к этому основанию.

Через боковые стороны и угол между ними

Если мы знаем длину боковых сторон и угол между ними, найдем площадь, опираясь на расчеты:

\(S=\frac12a^2\times\sin\left(\beta\right)\)

где a — это боковое ребро, β — угол между равными ребрами.

Через основание и угол между боковыми сторонами

В этом случае нам сначала придется найти высоту по формуле:

\(h=\frac b2\tan\left(\beta\right)\)

где β — угол при вершине, а b — основание.

Далее подставляем значение в формулу

\(S=\frac{b\times h}2 = \frac{b\times{\displaystyle\frac b2}\tan\left(\beta\right)}2=\frac{b^2\tan\left(\beta\right)}4\)

Итоговая формула:

\(S=frac{b^2\tan\left(\beta\right)}4\)

Заключение

Заключение